Kurvendiskussionen

A. Kurvendiskussion: Allgemeines Vorgehen

0. Einleitung

Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften einer gegebenen reellen Funktion herauszufinden, die mit ihrer Ableitung, d.h. ihrer Änderungsrate zu tun haben: In welchen Intervallen steigt oder fällt sie? Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und wenn ja, wo? Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo? Da Eigenschaften reeller Funktionen oft durch Eigenschaften ihrer Graphen ausgedrückt werden, hat sich für diese Art von Funktionsuntersuchungen auch der Name Kurvendiskussionen eingebürgert. Zu ihnen gehört auch das Auffinden anderer markanter Eigenschaften, wie beispielsweise die Existenz und Lage von Nullstellen. Gegeben sei die Funktionsgleichung f(x).

1. Definitionsbereich

Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion, denn nur innerhalb dieses Bereiches

ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.

 

 


2. Wertebereich

Man ermittelt die möglichen Funktionswerte für die Werte aus dem Definitionsbereich. 

3. Achsenschnittpunkte

  1. Man ermittelt die Werte x für die gilt f(x) = 0. Diese Lösungen, die Schnittpunkte mit der x-Achse, heissen die Nullstellen der Funktion.
  2. Man ermittelt die Werte y für die gilt f(0) = y. Diese Lösungen sind die Schnittpunkte mit der y-Achse.

4. Symmetrie

  1. Speziell bei ganzrationalen Funktionen gilt:

Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält. 
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.

5. Extrema

Bestimmen der relativen Extrema, man nennt sie auch Hoch- bzw. Tiefpunkte. Das sind auch die Punkte mit waagerechter Tangente. 
Vorgehensweise zur Berechnung der Extrempunkte. 
Man bildet die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x). 
Nullsetzen der 1. Ableitung liefert die Stellen mit waagerechter Tangente. 
Setzt man diese Werte in die 2. Ableitung ein, so erhält man eine Aussage über die Art des vorliegenden Extremums. 

6. Wendepunkte

Vorgehensweise zur Berechnung der Wendepunkte
Zusätzlich zu den ersten beiden Ableitungen von f(x) bildet man noch die dritte
Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind mögliche Wendestellen
Zur Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt, werden die errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist das Ergebnis ungleich Null, so bezeichnet der entsprechende x- Wert eine Wendestelle. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man durch Einsetzen der x- Werte in den Term der Funktionsgleichung f(x). 

7. Krümmungsverhalten und Monotonie

Kurz:  
An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen. 
Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen.

8. Randpunkte des Definitionsbereiches

Untersuchung der Funktion in den Randpunkten des Definitionsbereichs. Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann sind die beiden Grenzwerte zu bestimmen. 
Anders ausgedrückt: 
Man betrachtet den Verlauf der Funktionswerte für große x- Werte in sowohl positiver als auch negativer Richtung und fragt sich, wohin gehen die Funktionswerte.

9. Wertetabelle und Graph

Mit allen bisher gesammelten Informationen lässt sich in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen.
Dazu wird zunächst eine Wertetabelle angelegt. Dabei zeigt es sich, welche Werte noch zu berechnen sind. Diese kann man entweder mit dem Taschenrechner bestimmen, oder für ganzzahlige x- Werte mit dem HORNER-Schema.

10. Berechnung mit einem Grafikfähigen Taschenrechner GTR (beispielsweise Casio fx CG-20)

Eingabe und Anzeige  der Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor.

Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:

B. Beispiel einer Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich

Gegeben sei:

Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Normalerweise gilt das immer für ganzrationale Funktionen. Es sei denn, man möchte die Definitionsmenge einschränken.

2. Wertebereich

Die möglichen Funktionswerte sind alle reellen Zahlen.

3. Achsenschnittpunkte

4. Symmetrie

Für die gegebene Funktion f(x) gilt:  f(x) = f(-x). Daraus folgt: Die Funktion f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

5. Extrema

6. Wendepunkte

7. Wertetabelle und Graph

8. Krümmungsverhalten und Monotonie

9. Randpunkte des Definitionsbereiches

10. Berechnung mit dem GTR Casio fx CG-20

Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf 
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -7 ; 5 ] eingestellt. 

Extremwerte: 

Pmax ( 0 | -2,25 ) ; Pmin1 ( -2 | -6,25 ) ; Pmin2 ( 2 | -6,25 ) 

 

Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

Berechnen Sie die Wendepunkte von 


Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein: 

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist. 

Die Wendestellen liegen bei xw1 = -1,1547.. und xw2 = 1,1547.. 

 

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten: 

Pw1 ( -1,1547.. | -4,472..) ; Pw2 ( 1,1547.. | -4,472..) 

Diese Werte sind ungenau, mit SolveN erfolgt die Berechnung präziser. 

Die Nullstellen von f''(x) = 3x2 - 4 liefern die Wendestellen. 
Die Nullstellen von f''(x) also xw1 und xw2 werden mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.

Eingabeprozedur: 

Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von 

Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen. 
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden. 

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Nullstellen oder Schnittpunkte mit der x-Achse: 

Py ( 0 | -2,25 ) und Px1 ( -3 | 0) ; Px2 ( 3 | 0) 

Wertetabelle für:

Für das Intervall [ -4 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden. 

Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen): 

Pmax ( 0 | -2,25 ) ; Pmin1 ( -2 | -6,25 ) ; Pmin2 ( 2 | -6,25 ) 

 

C. Videos

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Kurvendiskussion - Warum brauchen wir dies?

 

Nullstellen einfach bestimmen

 

D. Fragen

Es sei eine Funktion gegeben durch f(x) = sin(x), deren Graph unten dargestellt ist. Stelle anhand logischer Überlegung und durch Betrachtung des Graphen fest, ob folgende Aussagen gelten.

  • Die Funktion hat unendlich viele Hoch- und Tiefpunkte.
  • Die Nullstellen der Funktion kann man mit der allgemeinen Formel k*pi beschreiben. (wobei k Element in den ganzen Zahlen)
  • Die Funktion geht nicht durch den Koordinatenursprung.
  • Die Funktion ist beschränkt.

Es sei folgender Graph gegeben:

  • .der Graph besitzt einen Hoch- und Tiefpunkt.
  • der Graph besitzt keine Wendestelle.
  • .es gibt drei Stellen des Graphen, an denen die y-Werte gleich Null sind.
  • die Funktion des Graphen ist auf ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend.

 

Gib an welche der Aussagen korrekt sind.

Was gilt allgemein für Nullstellen?

  • Ist eine Nullstelle auch eine Extremstelle, so muss die Funktion und deren erste Ableitung gleich Null sein.
  • In einer Funktion kann es maximal eine Nullstelle geben
  • Die Funktion muss gleich Null sein, damit eine Nullstelle existieren kann.
  • Nullstellen können keine Wende- und Extremstellen sein.

Angenommen du betrachtest nur Funktionen mit einem Wendepunkt. In diesem Wendepunkt gilt, dass..

  • sich das Monotonieverhalten immer ändert.
  • die dritte Ableitung ungleich Null sein muss.
  • die erste Ableitung kann Null sein. Dies ist aber nicht zwingend nötig.
  • sich die Krümmung im Wendepunkt immer ändert.