1.1 Ensembles de nombres

Les nombres sont présents partout !

Afin de s'y retrouver, les êtres humains ont décidés de les organiser, les classer et les hiérarchiser.

Découverte : La vie en couleurs !

Introduction

Arthur et Béatrice ont acheté du matériel pour leur cours de peinture.

La palette de peinture d'Arthur

La palette de peinture de Béatrice

Ils ont ainsi 12 couleurs différentes réparties dans 2 palettes distinctes.

De l'image au texte ...

Arthur possède du :

  • Gris (g)
  • Noir (n)
  • Marron (m)
  • Bleu foncé (bf)
  • Vert foncé (vf)
  • Jaune (j)
  • Orange (o)
  • Rouge (rg)

Pour simplifier , on peut écrire ainsi : 

A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Béatrice possède du :

  • Rose (rs)
  • Noir (n)
  • Vert clair (vc)
  • Bleu foncé (bf)
  • Violet (vi)
  • Jaune (j)
  • Orange (o)
  • Bleu clair (bc)

Pour simplifier , on peut écrire ainsi : 

B = {rs ; n ; vc ; bf ; vi ; j ; o ; bc}

Appartenance d'un élément à un ensemble

La palette d'Arthur est un ensemble de couleurs. Les couleurs présentes dans sa palette sont les éléments.

A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

L'ensemble A contient donc 8 éléments.


  • Pour signifier qu'un élément appartient à un ensemble nous utilisons le symbole
  •  Par exemple, pour signifier que l'élément "Noir" appartient à l'ensemble "Palette d'Arthur", nous notons :
n \in A \; \,
  • Pour signifier qu'un élément n'appartient pas à un ensemble nous utilisons le symbole


  •  Par exemple, pour signifier que l'élément "Rose" n'appartient pas à l'ensemble "Palette d'Arthur", nous notons :

rs \notin A \;

Inclusion d'ensembles

Carmine a elle aussi achetée sa palette de peinture.

La palette de peinture de Carmine

La palette de peinture d'Arthur

Nous avons donc

C = {bf ; n ; rg ; vf ; g ; j}     et   A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Toutes les couleurs de Carmine se retrouvent dans celles d'Arthur. L'ensemble "Palette de Carmine" est inclus dans l'ensemble "Palette d'Arthur" et on le notera : 

C\subset A

Inclusion d'ensembles 2

Dominique a lui aussi acheté sa palette de peinture.

La palette de peinture de Dominique

La palette de peinture d'Arthur

Nous avons donc

D = {vi ; o ; rg ; bc ; g ; j}     et   A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Toutes les couleurs de Dominique ne se retrouvent pas dans celles d'Arthur. L'ensemble "Palette de Carmine" n'est pas inclus dans l'ensemble "Palette d'Arthur" et on le notera : 

C\not \subset A

Intersection

Une intersection de deux ensembles est l'ensemble des éléments contenus dans les 2 ensembles. On la note avec le symbole suivant : 

\bigcap

Arthur

A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Béatrice

B = {rs ; n ; vc ; bf ; vi ; j ; o ; bc}

Il y a 4 couleurs appartenant aux 2 palettes : Noir, Bleu foncé, Jaune et Orange. On notera donc : 

A \cap B = \left \{ n ; bf ; j ; o \right \}

Union

Une union de deux ensembles est l'ensemble des éléments contenus dans au moins 1 des ensembles. On la note avec le symbole suivant : 

\bigcup \;

Arthur

A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Béatrice

B = {rs ; n ; vc ; bf ; vi ; j ; o ; bc}

Il y a 12 couleurs appartenant à au moins 1 des palettes : Gris, Rose, Noir, Marron, Vert clair, Bleu foncé, Vert foncé, Violet, Jaune, Orange, Rouge et Bleu clair. On notera donc : 

A \cup B= \left \{g ; rs ; n ; m ; vc; bf ; vf ; vi ; j ; o ;rg ;bc \right \}

Différence

Une différence de deux ensembles est l'ensemble des éléments contenus dans le premier ensemble mais pas dans le deuxième. On la note avec le symbole suivant : 

\setminus \: \;

Arthur

A = {g ; n ; m ; bf ; vf ; j ; o ; rg}

Béatrice

B = {rs ; n ; vc ; bf ; vi ; j ; o ; bc}

Il y a 4 couleurs appartenant à Arthur mais pas à Béatrice : Gris, Marron, Vert foncé et Rouge. On notera donc : 

A \setminus B= \left \{g ; m ; vf ;rg \right \}

Conclusion

L'élément 2 appartient à l'ensemble F 2 \in F
L'élément -6 n'appartient pas à l'ensemble G -6 \notin G
L'ensemble A est inclus dans l'ensemble C A \subset C\,
L'ensemble T n'est pas inclus dans l'ensemble B T \not \subset B
L'ensemble E est l'intersection des ensembles D et H E=D \cap H
L'ensemble K est l'union des ensembles I et S K=I \cup S
L'ensemble U est la différence de l'ensemble R par l'ensemble W U = R\setminus W\, \;

 

Entrainement : Exercice 1.1.1

Exercice 1.1.1 - Enoncé

Soient P et Q deux ensembles définis par : 

P = \left \{ 3;5;6;9;11 \right \} \: \: \; \; Q = \left \{ 1;3;7;8;10 \right \}\;

 

 

Complétez les expressions suivantes.

 

 

Exercice 1.1.1 - Question a

 

5 .....P

 

Exercice 1.1.1 - Question b

 

1 .....P

 

Exercice 1.1.1 - Question c

 

11 .....Q

 

Exercice 1.1.1 - Question d

 

58 .....P\: \: \;

 

Exercice 1.1.1 - Question e

8 .....P \,

 

Exercice 1.1.1 - Question f

6\in .....\,

 

Exercice 1.1.1 - Question g

8\in .....\,

 

Exercice 1.1.1 - Question h

10\notin .....

 

Entrainement : Exercice 1.1.2

Exercice 1.1.2 - Enoncé

Soient K, L et M trois ensembles définis par : 

K=\left \{ 0;5;7 \right \} \; L=\left \{ 4;5;6;7 \right \} \; M=\left \{ 0;2;3;5;6;7 \right \}

 

Complétez les expressions suivantes.

 

Exercice 1.1.2 - Question a

 

K .....M

 

Exercice 1.1.2 - Question b

 

5 .....K\:

 

Exercice 1.1.2 - Question c

 

K .....L

 

Exercice 1.1.2 - Question d

 

M .....K

 

Exercice 1.1.2 - Question e

\varnothing\,Ce symbole est celui de l'ensemble vide. Cela signifie qu'il ne contient aucun élément.

 

\varnothing .....M

 

Exercice 1.1.2 - Question f

 

9 .....L\, \: \; \:

 

Exercice 1.1.2 - Question g

\varnothing\,Ce symbole est celui de l'ensemble vide. Cela signifie qu'il ne contient aucun élément.

 

0 .....\varnothing\,

 

Exercice 1.1.2 - Question h

 

L .....M

 

Exercice 1.1.2 - Question i

 

\left \{ 2;5 \right \} .....M\, \: \; \:

 

Exercice 1.1.2 - Question j

 

\left \{ 5;6 \right \} .....K \,

 

Exercice 1.1.2 - Question k

 

6 .....L \: \; \:

 

Entrainement : Exercice 1.1.3

Exercice 1.1.3 - Enoncé

Soient A, B et C trois ensembles définis par : 

A=\left \{ -28/5;-3;-1;1.5; 2;5/2;49 \right \}\; \; B=\left \{-3;3;49 \right \}\; \; C=\left \{1.5;5/2;49 \right \}

 

Déterminer les ensembles suivants

 

Exercice 1.1.3 - Question a

 

Cochez parmi les nombres suivants ceux présents dans : 

 

A\cap B\,

  • -28/5
  • -3
  • -1
  • 1.5
  • 2
  • 5/2
  • 3
  • 49

Exercice 1.1.3 - Question b

 

Cochez parmi les nombres suivants ceux présents dans : 

 

A\cap C\,

  • -28/5
  • -3
  • -1
  • 1.5
  • 2
  • 5/2
  • 3
  • 49

Exercice 1.1.3 - Question c

 

Cochez parmi les nombres suivants ceux présents dans : 

 

A\cup B\,

  • -28/5
  • -3
  • -1
  • 1.5
  • 2
  • 5/2
  • 3
  • 49

Exercice 1.1.3 - Question d

 

Cochez parmi les nombres suivants ceux présents dans : 

 

A\cup C\,

  • -28/5
  • -3
  • -1
  • 1.5
  • 2
  • 5/2
  • 3
  • 49