El número de ORO

INTRODUCCION

Para empezar

Con este vídeo iniciaremos la lección de hoy sobre el numero áureo.

¿Podrías dibujar tu la espiral del video?

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LA MEDIDA DE LA BELLEZA

Aunque los gustos cambian a lo largo del tiempo, cuando observamos un objeto que nos parece BELLO, contemplamos un cuerpo hermoso, un rostro bello o hablamos de la belleza de las flores, habitualmente observamos que lo que es bello para unas personas es bello para la mayoría. Esto quiere decir que las personas apreciamos como bello algo que tiene unas determinadas características. Desde el comienzo de los tiempos se han querido buscar las características que hacen que algo sea bello y hallar una regla escrita en la naturaleza que cumplan las cosas bellas. Esas reglas son en general proporciones, relaciones funcionales y, en suma,  relaciones matemáticas.


Secuencia áurea o de Fibonacci

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Relación entre φ y la secuencia áurea

¿Qué es el número Phi y cómo se relaciona con los números de Fibonacci?

¡Sorprendente! Vamos a hacer una lista de los COCIENTES que obtenemos cuando tomamos un número de Fibonacci y lo divididimos por el número de Fibonacci anterior :

1/, 2/, /2, 5/, 8/5, 13/8, /13, 34/21, /34, /55, ...

¿Porqué?  Si escribimos las expansiones decimales de las divisiones anteriores. Obtenemos:

1, 2, 1.5, 1.6666..., 1.6, 1.625, 1.615384615..., 1.619047619..., 1.617647059..., 1.618181818...

¿Qué observas?

Si continuas escribiendo más de esos cocientes y calculas sus expansiones decimales, se observa que la serie de números se acerca más y más a un cierto número ... aunque nunca se llegue a él totalmente!

El número al cual se acerca la serie es (√5 + 1)/2, que es de aproximadamente es IRRACIONAL y es el número que estamos estudiando, Phi.

LA RAZÓN ÁUREA

La Razón Áurea

La razón Áurea

Así como hay proporciones que gobiernan los sonidos armoniosos  hay otras relaciones que hacen que los objetos que guardan esa relación nos resultan bellos para el sentido de la vista. Esa relación es phi, se representa con la letra griega φ= 1,6180… y debe su nombre al escultor griego Phidias (siglo V a. JC.), el cual  la observó en el Partenón. Phidias construía haciendo que la relación entre la anchura y la altura fuera φ, pero J. Kepler (1571-1630)  le dio a este número un gran espaldarazo publicitario al  llamarlo a divina proporción, por encerrar la belleza que Dios ha dado a las cosas, y también razón áurea y  número de oro. El número φ representaba la proporción de la belleza e indicaba que la belleza tenía una expresión matemática. φ es la razón entre dos segmentos, A y B tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor es igual al cociente de la suma de los dos segmentos y el mayor. Como se muestra en la imagen superior.

Para calcular el valor haremos,  A + B = 1, llamaremos A = X,  y  resolveremos la ecuación de segundo grado:

1/X = X/(1-X)

XX - X - 1 = 0

Y resulta que:

A= X = (-1+√5)/2= 0,6180

B = 1-X = (3-√5)/2 = 0,3820

φ = A/B = (1+√5)/2 = 1,6180

Rectángulo Áureo. ¿Cual de los siguientes se relaciona con el rectángulo áureo?

Rectángulo áureo

Se llama rectángulo áureo al rectángulo de lados a y b y al que a/b = Φ=1,6180

  • La fachada del Partenón, en Atenas.
  • Las medidas del papel estándar DIN.
  • El cuadro "Las meninas" de Velázquez.
  • La cara de "la Gioconda" de Leonardo da Vinci.
  • Dimensiones de las tarjetas de crédito.

Construcción del número áureo

Partimos de cuadrado de lado unidad ABCD. Unimos O, punto medio de DC, con el vértice B. Girando el segmento OB hasta la posición OF y  se obtiene la imagen superior.

Evidentemente, el rectángulo AEFD es rectángulo áureo, y también lo es el rectángulo BEFC, que resulta de quitarle al primero el cuadrado ABCD.


Realidad o Mito

¿Cual de las dos imágenes corresponde a una aplicación real de la proporción áurea y cual es un mito?

La espiral áurea en el arte

  • La espiral áurea también ha sido aplicada para estructurar algunas obras de arte, como La lección de anatomía de Rembrandt o Las Meninas de Velázquez.
  • El dibujo del Hombre Universal de Leonardo Da Vinci, también llamado "Hombre de Vitruvio", esta construido a partir de la proporción áurea.