Kombinatoryka, czyli kombinacje i permutacje

Kombinatoryka

Wstęp do kombinatoryki

Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?", "Na ile sposobów możemy wybrać delegację dwuosobową z klasy 28 osobowej?", itp.

Do rozwiązania większości problemów wykorzystywana jest reguła mnożenia i wzór na kombinację. W naszych obliczeniach posłużymy się arkuszem kalkulacyjnym dostępnym na dysku Google.

Reguła mnożenia

Wstęp

Przyjmijmy, że podczas wykonywania danej czynności dzielimy ją na dwa etapy. Jeżeli pierwszy etap można wykonać na n sposobów, a drugi na m sposobów, to całą czynność można wykonać na n*m sposobów.

Przykład 1

Rzucamy 3 razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia?

Rozwiązanie

Możliwe wyniki naszych rzutów to np.: (R,O,O), (R,R,R), (O,R,O)

W I rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.

W II rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.

W III rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości.

Reguła mnożenia mówi, że w takiej sytuacji ilość możliwych wyników wynosi:  2 x 2 x 2 = 2^3 = 8

Z pomocą arkusza rozwiążemy to zadanie za pomocą funkcji potęga.

W I kolumnie ustalamy ilość możliwości. W naszym przypadku są one dwie - orzeł i reszka. Będzie to podstawa naszej potęgi.

W II kolumnie zapisujemy ilość wykonanych rzutów. W tym wypadku 3. Liczba ta będzie wykładnikiem naszej potęgi.

W III kolumnie podana jest ilość możliwych wyników, czyli wynik potęgowania.

Przykład 2

Na ile sposobów mogą usiąść 3 osoby na 5 miejscach?

Rozwiązanie

Osoba I ma do wyboru 5 z 5 miejsc.

Osoba II ma do wyboru 4 z 5 miejsc.

Osoba III ma do wyboru 3 z 5 miejsc.

Zgodnie z regułą mnożenia ilość sposobów w tym przypadku wynosi: 5 x 4 x 3 = 60

Aby obliczyć ten wynik posługujemy się funkcją iloczyn w arkuszu.

Pytanie testowe

  • 27
  • 216
  • 120
Na ile sposobów możemy pomalować 3 ściany, mając do dyspozycji 6 kolorów farb, aby każda była w innym kolorze?

Kombinacje

Wstęp

Kombinacja pozwala policzyć na ile sposobów można wybrać k elementów z n elementowego zbioru.

W tym celu wykorzystamy w arkuszu kalkulacyjnym funkcję kombincje, która zwraca liczbę sposobów wyboru pewnej liczby obiektów z puli obiektów o danym rozmiarze.

Przykład 1

 Na ile sposobów można wybrać 2 osoby w klasie 30 osobowej?

Rozwiązanie

W pierwszej kolumnie zapisujemy wielkość klasy (zbioru), z której wybieramy uczniów.

W drugiej kolumnie podajemy ilość osób (elementów), które będziemy wybierać spośród klasy.

W trzeciej kolumnie stosujemy funkcję kombinacje, która wylicza nam ilość sposobów, na jakie można dokonać tego wyboru.

Pytanie testowe

  • 45
  • 66
  • 55
Na ile sposobów można wybrać 2 zawodników w drużynie 10 osobowej?

Permutacje

Wstęp

Permutacja zbioru n-elementowego, to dowolny n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. 

Liczbę permutacji zbioru n-elementowego możemy obliczyć ze wzoru: Pn = n!


Przykład 1

 Na ile sposobów można ustawić 8 osób w kolejce?

Rozwiązanie

W powyższym przykładzie należy obliczyć permutację zbioru 8-elementowego. 

W tym celu posłużymy się dostępną w arkuszu funkcją silnia.

Wpisujemy funkcję i wybieramy liczbę osób, z której będziemy liczyć silnię. W ten oto sposób uzyskujemy ilość możliwych ustawień w kolejce 8 osób.

Pytanie testowe

  • 24
  • 120
  • 720
Ile liczb można utworzyć z cyfr: 1,2,3,4,5?